- 5 CFU (docente: Emanuele Paolini): Numeri reali. Funzioni di una variabile reale. Limiti. Derivate. Polinomi di Taylor. Funzioni di più variabili reali. Derivate parziali.
- 4 CFU (docente: Enrico Sbarra): Il metodo di eliminazione di Gauss. Spazi vettoriali. Matrici e determinanti. Trasformazioni lineari. Geometria analitica del piano e dello spazio. Il problema della diagonalizzazione.
Obiettivi Formativi
Conoscenze:
Il corso intende offrire conoscenze sui concetti e sui teoremi che riguardano i numeri reali, le funzioni di una variabile e le funzioni di più variabili. Il corso intende inoltre offrire conoscenze di algebra lineare e geometria analitica dello spazio.
Competenze acquisite:
Lo studente acquisirà la capacità di calcolare limiti e derivate. Con questi strumenti sarà in grado di studiare l'andamento di funzioni di una o più variabili. Lo studente acquisirà inoltre la capacità di studiare e risolvere sistemi lineari; riconoscere spazi o sottospazi vettoriali e applicazioni lineari; trovare autovalori e autovettori di una matrice; scrivere equazioni di rette e piani; fare uso del concetto di distanza per la rappresentazione analitica di enti geometrici.
Capacità acquisite al termine del corso:
Lo studente acquisirà la capacità di studiare e risolvere equazioni e disequazioni non lineari, e risolvere problemi di ottimizzazione in una o più variabili. Lo studente acquisirà inoltre la capacità di utilizzare la teoria dei sistemi lineari e l’algoritmo di Gauss in diverse applicazioni; saprà utilizzare i vettori geometrici per risolvere problemi di geometria analitica dello spazio; saprà risolvere il problema della diagonalizzazione di una matrice.
Richiami sulle equazioni e sulle disequazioni.
Numeri naturali, interi, razionali.
Numeri reali, properties. Assioma di completezza. Le funzioni elementari: funzioni lineari, valore assoluto, potenze, esponenziali e logaritmi, funzioni trigonometriche dirette e inverse.
Proprietà limiti, calcolo di limiti.
Teorema dei carabinieri, teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima.
Funzioni continue.
Teorema dell’esistenza degli zeri metodo di bisezione. Teorema di Weierstrass.
Derivate, operazioni con le derivate.
Funzioni crescenti, decrescenti, punti di estremo locale, funzioni concave e convesse
Grafico di una funzione.
Polinomi di Taylor. La formula di Taylor nella risoluzione dei limiti.
Funzioni di più variabili: limiti, continuità.
Derivate parziali, gradiente, teorema di Schwarz.
Massimi e minimi relativi, Hessiano.
Differenziabilità.
I vettori geometrici. Somma di due vettori e sue proprietà; prodotto di un vettore per uno scalare e sue proprietà. Combinazioni lineari, lineare dipendenza e indipendenza. Parallelismo e complanarità di vettori e loro caratterizzazioni. Teorema: ”Dati tre vettori geometrici linearmente indipendenti, ogni vettore si scrive in modo unico come loro combinazione lineare”. Prodotto scalare, vettoriale e misto. Espressioni dei vari prodotti rispetto a basi ortonormali.
Spazi vettoriali: definizioni, proprietà, esempi.
Sistemi lineari. Il metodo di eliminazione di Gauss. Compatibilità di un sistema e sua caratterizzazione. Teorema di Rouché-Capelli.
Prodotto di matrici e sue proprietà.
Caratterizzazione delle matrici invertibili e calcolo dell’inversa.
L’algoritmo di Gauss per selezionare una base da un sistema di generatori.
Sottospazi e sottovarietà affini.
Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Il determinante di una matrice non singolare. Teorema di Cramer.
Trasformazioni lineari. Trasformazioni lineari iniettive, suriettive e biiettive. La trasformazione lineare associata a una matrice. Nucleo, immagine e il teorema “nullità più rango”.
Geometria affine: riferimenti cartesiani sulla retta, nel piano e nello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani; condizioni di incidenza e parallelismo.
Elementi di geometria euclidea: distanze e condizioni di ortogonalità.
Autovalori e autovettori di una matrice quadrata. Ricerca analitica di autovalori. Il caso reale e il caso complesso. Il problema della diagonalizzazione; il caso di matrici con autovalori distinti. Il caso generale: molteplicità algebrica e geometrica.